Álgebra Analítica

La Recta

• Ecuación general: \( Ax + By + C = 0 \)
• Ecuación pendiente-intersección: \( y = mx + b \)
• Pendiente de una recta: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
• Distancia entre dos puntos: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

La Circunferencia

• Ecuación general: \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
• Ecuación estándar: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
• Centro: \( (h, k) \), Radio: \( r \)

La Parábola

• Ecuación estándar (horizontal): \( (y - k)^2 = 4p(x - h) \)
• Ecuación estándar (vertical): \( (x - h)^2 = 4p(y - k) \)
• Foco: \( (h, k + p) \) o \( (h + p, k) \)
• Directriz: \( y = k - p \) o \( x = h - p \)

La Elipse

• Ecuación estándar (horizontal): \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)
• Ecuación estándar (vertical): \( \frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \)
• Focos: \( (h \pm c, k) \) o \( (h, k \pm c) \), donde \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \)

La Hipérbola

• Ecuación estándar (horizontal): \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)
• Ecuación estándar (vertical): \( \frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \)
• Asíntotas: \( y = k \pm \frac{b}{a}(x - h) \)

Números Imaginarios

• Unidad imaginaria: \( i = \sqrt{-1} \)
• Forma binómica: \( z = a + bi \)
• Módulo: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Conjugado: \( \overline{z} = a - bi \)

Método de Newton-Raphson

• Fórmula iterativa: \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)

Sistemas de Ecuaciones NxN

• Método de eliminación de Gauss
• Método de Gauss-Jordan
• Regla de Cramer: \( x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} \)

Matrices

• Determinante de una matriz 2x2: \( \text{det}(A) = ad - bc \)
• Inversa de una matriz 2x2: \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)
• Producto de matrices: \( C = AB \), donde \( C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} \)