Teoría de Cálculo I

Límites y Continuidad

Límite de una función: \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)
Continuidad en un punto: \( f(x) \) es continua en \( x = a \) si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

Derivadas

Derivada de una función: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
Regla de la cadena: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
Derivada implícita: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \)

Tabla de Derivadas Comunes

Función	Derivada
\( f(x) = x^n \)	\( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
\( f(x) = e^x \)	\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = \sin(x) \)	\( f'(x) = \cos(x) \)
\( f(x) = \cos(x) \)	\( f'(x) = -\sin(x) \)
\( f(x) = \ln(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
\( f(x) = \tan(x) \)	\( f'(x) = \sec^2(x) \)
\( f(x) = \arcsin(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( f(x) = \arccos(x) \)	\( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( f(x) = \arctan(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)
\( f(x) = \sinh(x) \)	\( f'(x) = \cosh(x) \)
\( f(x) = \cosh(x) \)	\( f'(x) = \sinh(x) \)

Aplicaciones de las Derivadas

Máximos y mínimos: \( f'(x) = 0 \) y \( f''(x) \) para determinar concavidad
Optimización: Uso de derivadas para maximizar o minimizar funciones
Velocidad y aceleración: \( v(t) = s'(t) \) y \( a(t) = v'(t) \)

Integrales

Integral indefinida: \( \int f(x) \, dx = F(x) + C \)
Integral definida: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)
Teorema Fundamental del Cálculo: \( \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \)

Tabla de Integrales Comunes

Función	Integral
\( f(x) = x^n \)	\( \int f(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (para \( n \neq -1 \))
\( f(x) = e^x \)	\( \int f(x) \, dx = e^x + C \)
\( f(x) = \sin(x) \)	\( \int f(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
\( f(x) = \cos(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \sin(x) + C \)
\( f(x) = \frac{1}{x} \)	\( \int f(x) \, dx = \ln\|x\| + C \)
\( f(x) = \tan(x) \)	\( \int f(x) \, dx = -\ln\|\cos(x)\| + C \)
\( f(x) = \sec^2(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \tan(x) + C \)
\( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)	\( \int f(x) \, dx = \arctan(x) + C \)
\( f(x) = \sinh(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \cosh(x) + C \)
\( f(x) = \cosh(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \sinh(x) + C \)
\( f(x) = a^x \)	\( \int f(x) \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)

Aplicaciones de las Integrales

Área bajo la curva: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
Volumen de sólidos de revolución: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
Trabajo realizado por una fuerza variable: \( W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \)

Series y Sucesiones

Convergencia de una serie: Uso de criterios como el de comparación y el de la razón
Series geométricas: \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} \) para \( |r| < 1 \)
Series de potencias: Expansión de funciones en series de potencias